Ekuazio-sistema ebaztea Microsoft Excel-en

Ekuazioen sistemak ebazteko gaitasuna erabilgarria izan daiteke askotan azterketan ez ezik, praktikan ere. Aldi berean, ordenagailuko erabiltzaile guztiek ez dakite Excelek ekuazio linealak ebazteko bere aukerak dituela. Jakin dezagun nola erabili mahai-prozesadorearen tresna-tresna hau zeregin hau gauzatzeko hainbat modutan.

Erabakitzeko aukerak

Edozein ekuazio bere erroak aurkitzen direnean soilik konpondu daiteke. Excel-ek erroak aurkitzeko hainbat aukera ditu. Azter ditzagun horietako bakoitza.

1. metodoa: matrize metodoa

Excel tresnen bidez ekuazio linealen sistema ebazteko modurik ohikoena matrize metodoa erabiltzea da. Adierazpen koefizienteen matrizea eraikitzean datza, eta ondoren alderantzizko matrizea sortzean. Saia gaitezen metodo hau erabiltzen ekuazioen sistema hau ebazteko:


14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. Matrizea zenbakiz betetzen dugu, ekuazioaren koefizienteak direnak. Zenbaki hauek sekuentzialki ordenatu behar dira, dagokien erro bakoitzaren kokapena kontuan hartuta. Adierazpen batean erroetako bat falta bada, kasu honetan koefizientea zeroren parekoa da. Koefizientea ekuazioan adierazten ez bada, baina dagokion erroa badago, orduan koefizientea dela uste da 1. Adierazi emaitza taula bektore gisa A.



2. Banan-banan idatzi balioak zeinu berdinaren ondoren. Izendatu izen arrunta, bektore gisa B.



3. Orain, ekuazioaren sustraiak aurkitzeko, lehendabizi, lehendik dagoen matrize alderantzizkoa aurkitu behar dugu. Zorionez, Excel-ek arazo hau konpontzeko diseinatutako operadore berezia du. Deitzen zaio ASI. Sintaxi nahiko sinplea du:

   = MOBR (array)

   argumentu "Array" - Hau da, hain zuzen ere, iturburu-mahaiaren helbidea.

   Beraz, orrietan gelaxka hutsen eskualde bat aukeratuko dugu, jatorrizko matrizaren tamaina berdina duena. Egin klik botoian "Txertatu funtzioa"formulen lerrotik gertu kokatuta dago.



4. Abian jartzea Funtzioen morroiak. Joan kategoriara "Matematika". Agertzen den zerrendan, bilatu izena "ASI". Aurkitu ondoren, hautatu eta egin klik botoian "OK".



5. Funtzioaren argumentu leihoa hasten da ASI. Argudio kopuruan eremu bakarra du "Array". Hemen gure mahaiaren helbidea zehaztu behar duzu. Horretarako, ezarri kurtsorea eremu honetan. Ondoren, saguaren ezkerreko botoiarekin sakatuta mantenduko dugu eta matrizea dagoen orriaren eremua aukeratuko dugu. Ikus dezakezuenez, kokapenen koordenatuen datuak automatikoki sartzen dira leihoko eremuan. Zeregin hau amaitu ondoren, nabarmenena botoian klik egitea izango litzateke "OK"baina ez zaitez presarik egin. Kontua da botoi honetan klik egiteak komandoa erabiltzearen baliokidea dela Sartu. Baina formula sarrera sartu ondoren matrizeekin lan egiten baduzu, ez egin klik botoian Sartueta egin laster teklatu lasterbideak Ktrl + Maius + Sartu. Egin eragiketa hau.



6. Beraz, programak ondoren, kalkuluak egiten ditu eta aurretik aukeratutako eremuko irteeran, emandakoari dagokion matrizea dugu.



7. Orain alderantzizko matrizea matrizez biderkatu beharko dugu B, zeinaren ondoren kokatutako balioen zutabe bat osatzen dute "Berdin" adierazpenetan. Excel-en taulak biderkatzeko, funtzio bereizia ere badago MMULT. Adierazpen honek honako sintaxia du:

   = MULTIPLE (Array1; Array2)

   Barrua, gure kasuan, lau zelulek osatzen dute. Ondoren, berriro exekutatu Feature morroiaikonoan klik eginez "Txertatu funtzioa".



8. Kategorian "Matematika", Exekutatu Funtzioen morroiakhautatu izena "MMULT" eta egin klik botoian "OK".



9. Funtzio argumentuaren leihoa aktibatuta dago. MMULT. Zelaian "Array1" sartu gure alderantzizko matrizaren koordenatuetan. Horretarako, azken aldiz ezarri kurtsorea eremuan eta saguaren ezkerreko botoia sakatuta hautatu dagokion taula kurtsorearekin. Antzeko ekintza bat egiten dugu koordenatuak eremuan sartzeko "Array2", oraingoan bakarrik aukeratu zutabeetako balioak B. Aurreko ekintzak burutu ondoren, berriro ez dugu presarik botoia sakatzeko "OK" edo giltza Sartueta idatzi gako konbinazioa Ktrl + Maius + Sartu.



10. Ekintza honen ondoren, ekuazioaren erroak aurrez hautatutako gelaxkan bistaratzen dira: X1, X2, X3 eta X4. Multzoetan antolatuko dira. Horrela, sistema hau konpondu dugula esan dezakegu. Soluzioaren zuzentasuna egiaztatzeko, nahikoa da erantzun horiek jatorrizko adierazpen sisteman ordezkatzea dagozkien erroen ordez. Berdintasuna ikusten bada, horrek esan nahi du aurkeztutako ekuazioen sistema behar bezala konpontzen dela.

ikasgaia: Alderantzizko matrizea Excel-en

2. metodoa: parametroak hautatzea

Excel-en ekuazioen sistema konpontzeko bigarren modu ezaguna parametroak aukeratzeko metodoa da. Metodo honen funtsa kontrakoa bilatzea da. Hau da, emaitza ezagunen arabera, argumentu ezezaguna bilatzen dugu. Erabili dezagun ekuazio koadratikoa adibide gisa

3x ^ 2 + 4x-132 = 0

1. Onartu balioa x berdintasuna lortzeko 0. Horri dagokion balioa kalkulatzen dugu f (x)honako formula hau erabiliz:

   = 3 * x ^ 2 + 4 * x-132

   Balioaren ordez "X" ordeztu zenbakia dagoen tokian dagoen gelaxkaren helbidea 0guk hartua x.



2. Joan fitxara "Datuak". Egin klik botoian "Zer gertatuko balitz azterketa". Botoi hau tresna-koadroko zintan dago. "Datuekin lan egin". Goitibeherako zerrenda irekitzen da. Aukeratu posizioa bertan "Parametroen hautaketa ...".



3. Parametroak hautatzeko leihoa hasten da. Ikus dezakezuenez, hiru eremuz osatuta dago. Zelaian Ezarri gelaxkan Zehaztu formula kokatuta dagoen gelaxkaren helbidea f (x)lehenago kalkulatutakoa. Zelaian "Balio" idatzi zenbakia "0". Zelaian "Balioak aldatzen" zehaztu balioa kokatuta dagoen gelaxkaren helbidea xaldez aurretik onartu gintuzten 0. Urrats hauek egin ondoren, egin klik botoian "OK".



4. Horren ondoren, Excel-ek kalkulua egingo du parametro bat hautatuz. Hori agertuko den informazio leihoaren berri emango da. Bertan, egin klik botoian "OK".



5. Ekuazioaren erroa kalkulatzearen emaitza eremuan esleitu dugun gelaxkan egongo da "Balioak aldatzen". Gure kasuan, ikusten dugun moduan, x berdintasuna izango da 6.

Emaitza hau balioaren ordez ebatzi beharreko espresioan ere egiaztatu daiteke x.

ikasgaia: Parametroen aukeraketa Excel-en

3. metodoa: Cramer metodoa

Orain saiatu dezagun Cramer metodoa erabiliz ekuazioen sistema konpontzen. Adibidez, hartu erabiltzen zen sistema bera 1. metodoa:


14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. Lehenengo metodoan bezala, matrize bat osatzen dugu A ekuazioen eta taulen koefizienteetatik abiatuta B zeinua jarraitzen duten balioetatik "Berdin".



2. Ondoren, beste lau taula egiten ditugu. Horietako bakoitza matrizaren kopia da. Akopia horiek zutabe batek taula bat ordezkatu du B. Lehen taulak lehenengo zutabea du, bigarren taulak bigarrena, etab.



3. Orain taula horiek guztiak zehazteko baldintzak kalkulatu behar ditugu. Ekuazio sistemak soluzioak izango ditu determinatzaile guztiek zeroaz gain beste balioa baldin badute. Balio hori kalkulatzeko, Excel-ek berriro funtzio berezi bat du - MDETERM. Adierazpen honen sintaxia honako hau da:

   = MOPRED (array)

   Horrela, funtzioa bezala ASI, argumentu bakarra prozesatzen ari den taularen erreferentzia da.

   Beraz, hautatu lehen matrizaren determinatzailea bistaratuko den gelaxka. Ondoren, egin klik aurreko metodoetatik ezagutzen den botoian "Txertatu funtzioa".



4. Leihoa aktibatuta dago Funtzioen morroiak. Joan kategoriara "Matematika" eta operadoreen zerrendan izena nabarmentzen dugu "MDETERM". Horren ondoren, egin klik botoian "OK".



5. Funtzioaren argumentu leihoa hasten da MDETERM. Ikus dezakezuenez, eremu bakarra du "Array". Eremu honetan lehenengo matrize eraldatuaren helbidea sartzen dugu. Horretarako, ezarri kurtsorea eremuan, eta hautatu matrizeen barrutia. Horren ondoren, egin klik botoian "OK". Funtzio honek emaitza gelaxka batean eta ez array batean bistaratzen du. Beraz, kalkulua lortzeko, ez duzu teklen konbinazio bat sakatzera jo behar Ktrl + Maius + Sartu.



6. Funtzioak emaitza kalkulatzen du eta aurrez hautatutako gelaxka batean bistaratzen du. Ikusten dugunez, gure kasuan determinatzailea da -740, hau da, ez da zeroren parekoa, guri dagokiguna.



7. Era berean, beste hiru tauletako determinatzaileak kalkulatzen ditugu.



8. Azken fasean, matrize primarioaren determinantea kalkulatzen dugu. Prozedura algoritmo beraren arabera egiten da. Ikus dezakezuenez, taula primarioaren determinatzailea ere ez da zero, eta, ondorioz, matrizea ez degeneratutzat jotzen da, hau da, ekuazioen sistemak soluzioak ditu.



9. Orain ekuazioaren erroak aurkitzeko garaia da. Ekuazioaren erroa dagokion matrize eraldatzailearen determinatzailearen ratioa lehen taularen determinatzailearen berdina izango da. Horrela, eraldatutako matrizen lau zenbaki guztiak zatituz zenbakiaren arabera -148, jatorrizko taularen determinatzailea, lau erro lortzen ditugu. Ikus dezakezun moduan, balioen berdinak dira 5, 14, 8 eta 15. Beraz, alderantzizko matrizea erabiliz aurkitu ditugun erroak bat datoz 1. metodoa, ekuazio sistemaren konponbidearen zuzentasuna berresten duena.

4. metodoa: Gauss metodoa

Ekuazioen sistema ere Gauss metodoa aplikatuz konpondu daiteke. Adibidez, hartu ekuazioen sistema sinpleagoa hiru ezezagunetatik:


14x1+2x2+8x3=110
7x1-3x2+5x3=32
5x1+x2-2x3=17

1. Berriro ere, koefizienteak taula batean idazten ditugu A, eta sinaduraren ondoren kokatutako doako baldintzak "Berdin" - mahaira B. Oraingoan, ordea, bi mahaiak gerturatuko ditugu, etorkizunean lan egiteko beharrezkoa izango dugulako. Baldintza garrantzitsua da matrizaren lehenengo zelulan A balioa ez da zero. Bestela, lerroak lekuetan berrantolatu beharko zenituzke.



2. Kopiatu konektatutako bi matrizen lehen errenkada beheko lerroan (argitasuna lortzeko, errenkada bat saltatu dezakezu). Lehenengo gelaxkan, lerroan aurrekoa baino txikiagoa dena, honako formula hau sartuko dugu:

   = B8: E8- $ B $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)

   Matrizeak modu ezberdinean antolatzen badituzu, orduan formula-zelulen helbideek beste esanahi bat izango dute, baina hemen emandako formulekin eta irudiekin alderatuz kalkula ditzakezu.

   Formula sartu ondoren, hautatu gelaxka ilara osoa eta sakatu tekla konbinazioa Ktrl + Maius + Sartu. Matrize formula bat errenkadan aplikatuko da eta balioez beteko da. Horrela, bigarren lerrotik kendu dugu lehenengoa, sistemaren lehen bi adierazpenen koefizienteen ratioa biderkatuz.



3. Horren ondoren, kopiatu ondoriozko katea eta itsatsi beheko lerroan.



4. Hautatu falta diren lerroen ondoren lehen bi lerroak. Egin klik botoian "Kopiatu"fitxan zinta gainean kokatuta "Home".



5. Azken diskoaren ondoren lerroa saltatzen dugu fitxan. Hautatu hurrengo errenkadan lehenengo gelaxka. Egin klik eskuineko botoiarekin. Irekitzen den testuinguruko menuan, mugitu kurtsorea "Txertatze berezia". Abian jarriko den zerrenda osagarrian, hautatu posizioa "Balio".



6. Hurrengo lerroan, sartu matrize formula. Bigarren errenkadatik bigarren errenkadako aurreko datu multzoa kenzen du, hirugarren eta bigarren errenkaden bigarren koefizientearen ratioa biderkatuz. Gure kasuan, formulak forma hau izango du:

   = B13: E13- $ B $ 12: E $ 12 * * (C13 / $ C $ 12)

   Formula sartu ondoren, hautatu errenkada osoa eta erabili teklatu lasterbidea Ktrl + Maius + Sartu.



7. Orain alderantzizko exekuzioa egin beharko zenuke Gauss metodoaren arabera. Azken diskoko hiru lerro saltatzen ditugu. Laugarren lerroan matrize formula sartzen dugu:

   = B17: E17 / D17

   Horrela, guk kalkulatutako azken lerroa hirugarren koefizientearen arabera zatitzen dugu. Formula idatzi ondoren, hautatu lerro osoa eta sakatu teklaren konbinazioa Ktrl + Maius + Sartu.



8. Lerro batera igo eta hurrengo array formula sartzen dugu:

   = (B16: E16-B21: E21 * D16) / C16

   Matrize formula aplikatzeko ohiko teklatu lasterbidea sakatzen dugu.



9. Beste lerro bat gorantz igoko dugu. Honako inprimaki honen matrize formula sartuko dugu:

   = (B15: E15-B20: E20 * C15-B21: E21 * D15) / B15

   Berriro hautatu marra osoa eta aplikatu teklatu lasterbidea Ktrl + Maius + Sartu.



10. Orain, lehen kalkulatu ditugun azken errenkaden blokearen azken zutabean ageri ziren zenbakiak aztertuko ditugu. Zenbaki hauek dira (4, 7 eta 5) ekuazio sistema honen erroak izango dira. Balioen ordez jarriz egiaztatu dezakezu X1, X2 eta X3 adierazpenean.

Ikusten denez, Excel-en, ekuazioen sistema hainbat modutan konpondu daiteke, eta bakoitzak bere abantailak eta desabantailak ditu. Baina metodo horiek guztiak bi talde handitan banatu daitezke: matrizea eta parametroak hautatzeko tresna erabiliz. Zenbait kasutan, matrize metodoak ez dira beti egokiak arazo bat konpontzeko. Bereziki, matrizaren determinatzailea zero berdina denean. Beste kasu batzuetan, erabiltzailea bera aske da erabakitzeko zein aukera duen egokitzat jotzen duenerako.